El horror de las matemáticas
por David Quintero

Recuerdo con cariño a un profesor de la carrera que nos contó en cierta ocasión que se estaba leyendo un libro de terror cuántico (el libro era ZIG ZAG, de José Carlos Somoza), y que él siempre había pensado que porterror cuántico se entendía un examen de Física Cuántica muy difícil (lo cual, desde mi humilde perspectiva de sufrido alumno, déjenme que les diga que era la norma habitual).

Cuento esta simpática anécdota porque me he dado cuenta de que en la ciencia-ficción existe una especie de subgénero, por así llamarlo, que trata sobre el terror y el pavor de que las matemáticas, la más exacta de las ciencias, puedan estar mal. Que haya un error de base, principalmente en alguno de los axiomas más fundamentales, que haya pasado desapercibido y provoque que todo el edificio se venga abajo. ¿Se imaginan lo que ello significaría para nuestro mundo?

Supongo que todo comenzó con los teoremas de incompletitud de Gödel. Esta es una de las ocasiones en las que la ciencia-ficción se ha inspirado directamente en la ciencia real (no pocas veces ha sido a la inversa). El lógico y matemático austriaco Kurt Gödel, el mayor lógico desde Aristóteles y del que Einstein dijo Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel fue, sin lugar a dudas, una de las grandes mentes del siglo XX. Su mayor contribución a las matemáticas fueron dos teoremas que acabaron con la ilusión de que en la matemática todo fuesen certezas y todo fuese demostrable. El primero de los teoremas dice.

En toda teoría recursiva y consistente que contenga suficiente aritmética existe un resultado indecidible, es decir, un resultado tal que ni él ni su negación son demostrables.

Básicamente, y simplificando mucho, si tenemos una teoría en la que los resultados puedan probarse en un número finito de pasos, sin contradicciones y que contiene a los números naturales 1,2,3... con sus operaciones de suma, producto y sucesor, se puede probar que en esta teoría existen enunciados que no se pueden demostrar dentro de la propia teoría.

Como ven, las exigencias no son nada grandes. Muchísimas teorías matemáticas las cumplen. La prueba de Gödel cayó como un rayo de un cielo azul. De la noche a la mañana, los matemáticos tuvieron que aprender a vivir con el conocimiento de que en su maravilloso mundo de exactitud y pureza existían la ambigüedad y las incógnitas eternas. Hay que decir, no obstante, que la comunidad matemática se acostumbró muy rápido y siguieron con su vida y con sus trabajos como antes del huracán Gödel. Al fin y al cabo, el teorema de Gödel solo decía que existían resultados cuya validez nunca podría demostrarse, pero no cuántos había ni cómo localizarlos. Y hasta las teorías más sencillas tienen un número inmenso de resultados, de enunciados. Los matemáticos habían probado muchísimos teoremas y habían hecho avanzar mucho el mundo de las matemáticas, desde la antigüedad hasta principios del siglo XX, cuando Gödel probó sus teoremas. Es verdad que había (y hay) resultados cuya demostración ha resultado esquiva durante muchos años, incluso siglos, pero bajar los brazos y rendirse diciendo que esos son algunos de los resultados indemostrables de Gödel... digamos que ese no es el espíritu...

Kurt Gödel probó también un segundo teorema, en el que demostraba que la prueba de la consistencia (es decir, la prueba de que en una teoría no hay resultados contradictorios) es precisamente uno de los resultados indemostrables dentro de la teoría. Otro bombazo. ¡Además de que hay resultados indemostrables, encima no podemos estar seguros de que no haya resultados mutuamente contradictorios! Pero bueno, que tampoco cunda el pánico: cabe decir que la consistencia se puede probar, aunque para ello necesitamos salirnos de la teoría.

Los teoremas de Gödel tienen la belleza de los grandes resultados de la matemática, o en palabras de Bertrand Russell: Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Una belleza que también encandila, que puede llegar a deslumbrar. Además, los teoremas matemáticos pertenecen a una especie de mundo platónico de las ideas. Paul Davies, el gran divulgador, afirma en su libro UN SILENCIO INQUIETANTE que a diferencia de los resultados de por ejemplo la Física, en la que no hay certeza de que las teorías de hoy vayan a ser reemplazadas por paradigmas más completos y precisos mañana, resultados como los de Gödel serán los mismos y seguirán de actualidad dentro de diez mil años. Las matemáticas seguirán existiendo, inmutables, al menos mientras haya seres que piensen en ellas.

Si quieren conocer más en profundidad el maravilloso mundo de los teoremas de Gödel, en castellano tenemos la inmensa fortuna de contar con el libro GÖDEL PARA TODOS, de Gustavo Piñeiro y Guillermo Martínez, del que he cogido las explicaciones y que no puedo dejar de recomendar.

Volviendo al mundillo de la ciencia-ficción: quizá inspirándose consciente o inconscientemente en Gödel, ha habido autores que han querido abordar la radical hipótesis de qué pasaría si hay un error fundamental, oculto, en los cimientos de las matemáticas. En este artículo hablo de la respuesta que dan tres autores en tres cuentos. No voy a hacer grandes revelaciones por si no han leído los cuentos, aunque mencionar algunos puntos clave es inevitable.

Nuestro querido Jorge Luis Borges aborda el tema en su relato breve TIGRES AZULES. Documentándome para este artículo, me encontré con que el tigre es una figura recurrente y especial en la obra de Borges (otras podrían ser los laberintos o las bibliotecas). En este caso, los tigres son unas pequeñas piedras azules que desafían las más elementales leyes de la aritmética. En un montón de cuatro piedras se cogen dos y de repente se ve que quedan tres. Se guardan cinco en un bolsillo y salen ocho, o queda una sola. Un desafío completo a las leyes básicas del pensamiento. Las piedras estaban a buen recaudo en una montaña junto a un poblado extraviado; los nativos vigilaban que no llegasen a ser conocidas. El mismo universo se encuentra en jaque ante semejante prodigio.

Más terror matemático puede encontrarse en el relato DIVIDIR POR CERO, de Ted Chiang, de la muy recomendable recopilación de relatos breves LA HISTORIA DE TU VIDA. De carácter más intimista, en este relato el descubrimiento de una profunda grieta en las matemáticas tiene muy duras consecuencias para su protagonista, más que para el universo entero. La joven y prestigiosa matemática, que había contado en su vida con la certeza de las ciencias exactas como un pilar, tiene que afrontar cómo su mundo se desmorona, en más de un sentido, como les invito a que descubran por ustedes mismos.

Por último debo mencionar el relato LUMINOSO, de Greg Egan, del libro de relatos del mismo nombre. En esta narración, la más larga de las tres que menciono, tenemos a un Egan completamente desatado en cuanto a las más locas y salvajes especulaciones. Y eso, en el caso de Egan, es decir mucho. Hay de nuevo una brecha en las matemáticas, una especie de error, posiblemente formado en los instantes próximos al Big Bang, pero que es posible cartografiar y cerrar mediante recursos computacionales. Imagínense el terror frío que sienten los protagonistas cuando descubren que hay seres que impiden que se corrija la brecha, seguramente porque han construido su mundo en base a esas matemáticas reversas. Déjenme decirles que la resolución del relato les dejará con la boca abierta.

Quiero terminar mi artículo con tres referencias más, que no conozco de forma tan exhaustiva pero me parecen interesantes para todos los que curioseen en las matemáticas y la literatura. Una de ellas es ESPERANDO A GÖDEL, de Francisco González Fernández, sobre la más estrecha de lo que parece relación entre la literatura y las matemáticas; solo he podido ojearla pero tiene muy pero que muy buena pinta. Otra es la web Mathematical fiction, de Alex Pasman, donde podemos consultar sobre las numerosas interrelaciones entre las matemáticas y la ficción y es además un lugar maravilloso en el que perderse. Por último, la FANTASIA MATHEMATICA, selección de relatos de Clifton Fadiman, de la que he leído solo alguno pero que tienen un sabor especial.

En fin, que si ustedes han pensado lo en apariencia terribles que son las matemáticas, o si alguien se lo ha dicho alguna vez, no olviden que sin matemáticas nuestro mundo sería probablemente un lugar terrorífico. Todos hemos experimentado, de una forma u otra, la dureza de las matemáticas, pero volvemos a ellas porque ante todo nos han cautivado. Existe el terror cuántico, como dijo aquel profesor mío, pero el sentido de la maravilla es más fuerte y elegimos volver. Elegimos volver.

© David Quintero
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